VECTORES.-
En Física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).¹ ² ³ Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano $\R^2$ o en el espacio $\R^3$ .
En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.
Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:¹ ² ³

módulo: la longitud del segmento
dirección: la orientación de la recta
sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.⁴
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo $AB$ , que indican su origen y extremo respectivamente.

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \,$

Características de un vector

Coordenadas cartesianas.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

$\vec{V} = \boldsymbol{V} = (V_x, V_y)$

siendo sus coordenadas:

$V_x, \; V_y$

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

$\vec{V} = \vec{V_x} + \vec{V_y}$

Coordenadas tridimensionales.

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

$\vec{V} = \boldsymbol{V} = (V_x, V_y, V_z)$

siendo sus coordenadas:

$V_x, \; V_y, \; V_z$

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Nombre

Dirección

Sentido

Modulo

Punto de aplicación

Teorema del seno

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Teorema del seno.

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

$\frac{a}{\sin\,A} =\frac{b}{\sin\,B} =\frac{c}{\sin\,C}$

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:

$Area = \frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sin\,C}{2}$ .

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

$Area=\frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sin\,C}{2}=\frac{a\;b\;c}{4\;R}$ .

Teorema del coseno

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El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

$c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\gamma)$

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.1

Por el teorema de Pitágoras

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\gamma$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:

(left) $c^2 = h^2 + u^2\,$

Pero, la longitud h también se calcula así:

(left) $h^2 = a^2 - (b-u)^2\,$

Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

$c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,$

Por la definición de coseno, se tiene:

$cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}$

y por lo tanto:

$u = b- a \,\cos\gamma\,$

Sustituimos el valor de u en la ecuación para $c^2$ , concluyendo que:

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma$

con lo que concluye la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente $c^2 = h^2 + u^2$ pero en este caso $h^2 = a^2 - (b+u)^2$ . Combinando ambas ecuaciones obtenemos $c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2$ y de este modo:

$c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,$ .

De la definición de coseno, se tiene $cos\gamma\,= \frac{b+u}{a}$ y por tanto:

$u = a\, \cos\gamma -b\,$ .

Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,$ .

Esto concluye la demostración.
Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.